persmaan kuadrat

PERSAMAAN KUADRAT

               1. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum   bilnagan a,b dan c adalah bilangan real, , dan x              menyatakan variable. Perhatikan bahwa a adalah koefisien dari x^2 dab b dalah koefisien ari x dan c adalah konstanta, serta x dalah varibel dari persamaan persamaan tersebut. Derajat atau pangkat tertinggi dari variabek x dalah dua.

Contoh:

Persamaan kuadrat	Nilai
	a	b	c
	4	0	-9
	1	-7	0
	1	7	-18
	5	-13	8

Banyak masalah matematika atau banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang perlu dirumuskan terlebih dahulu ke bentuk persamaan kuadrat, dalam menentukan penyelesaiannya perhatikan contoh berikut:

Suatu persegi panjang mempunyai ukuran panjang 6 m lebih panjang dari lebarnya. Jika luas persegi panjang tersebut sama dengan 216 m²   berapakah panjang dan lebar persegi panjang tersebut?

                           Penyelesaian:

            Misalkan panjang = p  dan lebar = l. diketahui bahwa ukuran panjang 6 m lebih panjang             dari lebarnya. Kita tuliskan p = (l + 6)

            Luas =

            Karena , maka

   

 

 

Nilai variable x yang memenuhi persamaan kuadrat jika kita mencari penyelesaian persamaan kuadrat, sama dengan kita mencari akar-akar persamaan tersebut. Sebuah persamaan kuadrat dapat mempeunuai dua akar atua hanya satu akar. Akar-akar prsamaan kuadrat , dinotasikan x₁ dan x₂. Jika persamaan kuadrat hanya mempunyai satu akar, maka dikatakan x₁ dan x₂ atau akar-akarmya kembar.

Ada tiga cara untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat yaitu:

a.       Pemaktoran

Pada metode pemaktoran, bentuk persamaan  diubah ke bentuk . Untuk menyelesaikan persamaan  harus digunakan ketentuan factor nol. Ketentuan factor nol menyatakan:

“Bila hasil kali dua tau lebih factor-faktor sama dengan nol, maka paling sedikit satu atau faktornya harus sama dengan nol.”

Ini berarti, serupa dengan  atau  sehingga akan diperoleh nilai-nilai x yang merupakan akar-akar persamaan dari kuadrat tersebut.

Penentuan nilai p,q,r dan s bergantung pada bentuk  atau nilai-niali a,b,c.

Contoh:

1)      Tentukan akar-akar dari  

Penyelesaian:

 

ingat bahwa  =(a+b)(a-b)

 

 dapat diubah menjadi

 

 

 

b.      Melengkapkan kuadrat sempurna

Sebelum membahas cara penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapa\kan kuadrat sempurna, sebaiknya pahami terlebih dahulu bentuk kudrat sempurna. Bentuk kuadrat sempurna adalah suatu pentuk persamaan kuadrat yang jika ditarik akarnya menghasilkan bentuk rasional. Bentuk kuadrat sempurna juga dapat juga dinyatakan dalam bentuk rasioanal berderajat dua. Contoh:

4, x², 9x², (x+a)²,(c-b)²

Sebelum membahas bentuk kaudrat sempurna, ada baiknya kita menyelesaikan persamaan kuadrat berbentuk ( . penyelesaian persamaan jenis tersebut didasarkan pada sifat akar kuadrat yaitu:

“bila m dan n adalah bilangan rill dan m² = n², maka akar: m = n atau m = -n.”

                                    Contoh:

                                    Selesaikanlah persamaan berikut (x+3)²=25

                                    Penyelesaian:

                                    Gunakan sifat-sifat kuadrat

                                     

                                     

                                   

                                     

                                    Jadi penyelesaiannya  

Langkah-langkah untuk menyelesaiakan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurnayaitu:

1)      Ubahlah persamaan  ke bentuk   

2)      Bila  bagilah kedua ruas dengan dengan a, diperoleh :

  

3)      Lengkapkan kedua kuadrat dengan cara menambahkan pada kedua ruas, diperoleh:

   atau  

4)      Pergunakan sifat akar kuadrat:

 

Contoh:

 Selesaikanlah bentuk persamaan berikut  

Penyelesaian:  

 

 

 

                = 4    

 

 

Jadi penyelesaian persamaan dari  adalah 2 atau 6.

c.       Penggunaan rumus abc

Pembuktian rumus abc

   

 

 

 

 

 

 

 

Comtoh:

Selesaikanlah persamaan berikut dengan rumus abc

 

Penyelesaian:

 

a=1, b=7, c=12

   

          

         

          

 atau

 

 

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (-3,-4)